قانون اورستد
در سال 1800 الساندرو ولتا باتری ولتایی که اولین باتری الکتریکی بود را اختراع کرد. این باتری ابتدایی متشکل از چندین دیسک فلزی بود که هر کدام از آن‌ها از فلزی غیر مشابه تشکیل شده و در یک سری متناوب قرار می‌گرفتند و توسط نوار لنت‌های مرطوب با الکترولیت از هم جدا می‌شدند.
سال بعد اورستد شروع به تحقیق درباره ماهیت الکتریسیته و انجام اولین آزمایش‌های الکتریکی خود کرد. در سال 1820 هنگامی که او در حال انجام آزمایش در کلاس برای دانشجویانش بود جریان الکتریکی را از یک سیم عبور داد و متوجه شد که سوزن قطب نمای مغناطیسی حرکت می‌کند.
این رویداد به وضوح نشان‌دهنده رابطه‌ای بین مغناطیس و الکتریسیته بود و باعث شد اورستد اولین کسی باشد که نیروی الکترومغناطیس را شناسایی می‌کند. مشاهده وی در ژوئیه 1820 در جزوه ای تحت عنوان «آزمایشاتی در مورد تأثیر جریان الکتریکی بر عقربه مغناطیسی» منتشر شد. با آزمایش‌های بیشتر اورستد دریافت که جریان الکتریکی در یک سیم یک اثر مغناطیسی دایره‌ای در اطراف خود ایجاد می‌کند.
برای آشنایی بیشتر با ویژگی‌های میدان مغناطیسی، می‌توانید فیلم آموزش فیزیک پایه یازدهم را که توسط فرادرس ارائه شده است مشاهده کنید. لینک این آموزش در ادامه آورده شده است.
- برای دیدن فیلم آموزش فیزیک پایه یازدهم + اینجا کلیک کنید.
میدان مغناطیسی حاصل از جریان الکتریکی
هانس کریستین اورستد فیزیکدان دانمارکی (1851-1777) رابطه ریاضی حاکم بر قدرت یک سیم حامل جریان را کشف کرد که اکنون به آن قانون اورستد گفته می‌شود. کشف اورستد اولین ارتباط بین الکتریسیته و مغناطیس بود و اولین قانونی بود که این دو ماهیت فیزیکی را به یکدیگر مرتبط می‌کرد. قانون دیگری که به ارتباط بین الکتریسیته و مغناطیس می‌پردازد، قانون فارادی است.
این دو قانون یعنی قانون اورستد و قانون فارادی بخشی از معادلات حاکم بر الکترومغناطیس یعنی معادلات ماکسول را تشکیل می‌دهند. اورستد دریافت برای یک سیم که از آن جریان مستقیم عبور می‌کند ویژگی‌های زیر برقرار است:
- خطوط میدان مغناطیسی سیم حامل جریان را احاطه می‌کنند.
- خطوط میدان مغناطیسی در یک صفحه عمود بر سیم قرار دارند.
- اگر جهت جریان معکوس شود جهت میدان مغناطیسی نیز معکوس می‌شود.
- قدرت میدان مستقیماً با بزرگی جریان متناسب است.
- مقاومت میدان در هر نقطه با فاصله از سیم رابطه عکس دارد.
کشف مفهوم الکترومغناطیس توسط اورستد مجموعه‌ای از مفاهیم جدید را به وجود آورد که بنیان دنیای مدرن مجهز به فناوری را بنا نهاد.
اندکی پس از کشف اورستد فیزیکدان فرانسوی «آندره ماری آمپر» (Andre-Marie Ampere) رابطه ریاضی را برای نمایش نیروهای مغناطیسی موجود بین رساناهای حامل جریان بیان کرد. پس از ۴۰ سال دانشمند اسکاتلندی «جیمز کلارک مکسول» (James Clerk Maxwell) این معادله را به گونه‌ای اصلاح کرد تا بتوان از آن در شرایطی که جریان ثابت نیست نیز استفاده کرد و این معادله یکی از چهار معادله معروف وی شد که ثابت می‌کند نور یک موج الکترومغناطیس است.
الکترومغناطیس اساس بسیاری از دستگاه‌ها از جمله موتور الکتریکی، میکروفون، ژنراتور الکتریکی، بلندگو و ترانسفورماتورها است.
بیان ریاضی میدان مغناطیسی حاصل از جریان الکتریکی در یک سیم راست
میدان‌های مغناطیسی مانند میدان الکتریکی از بار به وجود می‌آیند اما نوع این بارها متفاوت است. سیم مستقیم بلند حامل جریان ساده‌ترین نمونه بار الکتریکی متحرک است که یک میدان مغناطیسی تولید می‌کند. می‌دانیم جهت نیرویی که یک بار در هنگام حرکت از طریق یک میدان مغناطیسی تجربه می‌کند از طریق قانون دست راست محاسبه می‌شود. در مورد سیم مستقیم بلند که جریان II را حمل می‌کند خطوط میدان مغناطیسی دور سیم قرار می‌گیرند. با قرار دادن انگشت شست دست راست در امتداد جهت جریان می‌توان با خم شدن انگشتان به دور سیم جهت میدان مغناطیسی را پیدا کرد.
قدرت میدان مغناطیسی به جریان II در سیم و rr فاصله از سیم بستگی دارد.
B=μ0 I2π rμ0=4π×10−7 (TmsC)B=μ0 I2π rμ0=4π×10−7 (TmsC)
μ0μ0 ثابت تراوایی مغناطیسی است. دلیل این که به نظر نمی‌رسد μ0μ0 یک ثابت دلخواه باشد این است که واحدهای بار و جریان یعنی کولن و آمپر، برای دادن یک فرم ساده برای این ثابت انتخاب شده‌اند. همچنین می‌توان نشان داد که حاصلضرب μ0μ0 و ϵ0ϵ0 برابر با سرعت نور است و داریم:
c=1√ϵ0 μ0c=1ϵ0 μ0
اگر رابطه میدان الکتریکی یک سیم باردار یکنواخت را به خاطر آورید متوجه می‌شوید که این کمیت نیز با عامل 1r1r کاهش می‌یابد.
هیچ رابطه‌ای شبیه به قانون کولن که برای نیروی میدان الکتریکی بین دو ذره باردار برقرار است برای حالت مغناطیسی وجود ندارد زیرا میدان مغناطیسی برای یک بار نقطه‌ای مسئله‌ای پیچیده است و طبق مطالعات صورت گرفته و شواهد به دست آمده یک بار نقطه‌ای نمی‌تواند میدان مغناطیسی تولید کند.
بیان ریاضی میدان مغناطیسی حاصل از جریان الکتریکی در یک سیم به صورت حلقه
اگر سیم صاف حاوی جریان را به صورت یک حلقه سیم حامل جریان درآوریم، رابطه ریاضی میان میدان و جریان به صورت زیر به دست می‌آید:
B=μ0I2RB=μ0I2R
که در این رابطه RR شعاع حلقه سیم حامل جریان است. این معادله بسیار شبیه معادله سیم راست است اما در مرکز حلقه دایره‌ای سیم قابل استفاده است. شباهت معادلات نشان می‌دهد که در مرکز یک حلقه می‌توان میدان مغناطیسی هم‌اندازه با یک سیم حامل جریان بدست آورد. یک راه برای بدست آوردن یک میدان مغناطیسی بزرگتر داشتن N حلقه سیم است، در این حالت میدان مغناطیسی برابر است با:
B=Nμ0I2RB=Nμ0I2R
توجه داشته باشید که هرچه حلقه بزرگتر باشد میدان در مرکز آن کوچکتر است زیرا فاصله جریان تا مرکز حلقه بیشتر می‌شود.
بیان ریاضی میدان مغناطیسی حاصل از جریان الکتریکی در یک سلونوئید
سلونوئید یک سیم‌پیچ شامل تعداد زیادی حلقه جریان است.به دلیل ساختار سلونوئید میدان در داخل آن یکنواخت و قوی است. همچنین میدان در خارج سلونوئید تقریباً صفر است.
میدان مغناطیسی داخل یک سلونوئید حامل جریان از نظر جهت و اندازه بسیار یکنواخت است. با این حال میدان در نزدیکی لبه‌های ابتدایی و انتهایی آن شروع به تضعیف و تغییر جهت می‌کند. میدان خارج سلونوئید دارای پیچیدگی‌های مشابه حلقه‌های تخت و آهن‌ربا است اما قدرت میدان مغناطیسی درون یک سلونوئید به سادگی توسط رابطه زیر بیان می‌شود:
B=μ0nIB=μ0nI
در رابطه بالا nn تعداد حلقه‌های سلونوئید در واحد طول است، یعنی داریم:
n=Nln=Nl
که NN تعداد حلقه‌ها و ll طول سیم است. توجه داشته باشید که BB مربوط به میدان در هر نقطه از منطقه یکنواخت داخلی است و فقط میدان مربوط به مرکز سلونوئید نیست.
مثال‌های مربوط به میدان مغناطیسی حاصل از جریان الکتریکی
مثال ۱: جریان الکتریکی را برای یک سیم بلند که یک میدان مغناطیسی دو برابر میدان مغناطیسی زمین در فاصله 55 سانتی‌متری از سیم تولید می‌کند را محاسبه کنید.
پاسخ: میدان مغناطیسی زمین در حدود 5×10−5T5×10−5T است. بنابراین میدان در فاصله ۵ سانتی‌متری از سیم برابر با 1×10−4T1×10−4T است. از آنجا که مقدار تمام دیگر کمیت‌ها مشخص است از معادله B=μ0I2πrB=μ0I2πr می‌توان برای محاسبه جریان استفاده کرد و داریم:
I=2πrBμ0=2π(5×10−2m)(1.0×10−4T)4π×10−7T⋅m/AI=2πrBμ0=2π(5×10−2m)(1.0×10−4T)4π×10−7T⋅m/A
⇒I=25 (A)⇒I=25 (A)
مثال ۲: میدان درون یک سلونوئید 22 متری که 20002000 حلقه دارد و جریان 16001600 آمپری حمل می‌کند چه قدر است؟
پاسخ: برای یافتن میدان درون یک سلونوئید از رابطه B=μ0nIB=μ0nI استفاده می‌کنیم. بدین منظور با توجه به صورت سوال می‌دانیم طول سلونوئید ۲ متر است و ۲۰۰۰ حلقه دارد. بدین ترتیب داریم:
n=20002=1000 m−1n=20002=1000 m−1
بدین ترتیب با استفاده از رابطه میدان در سلونوئید داریم:
B=μ0nI=(4π ×10−7 T.mA)(1000 m−1)(1600 A)B=μ0nI=(4π ×10−7 T.mA)(1000 m−1)(1600 A)
⇒B=2.01 T⇒B=2.01 T
نتیجه به دست آمده یک میدان مغناطیسی بزرگ است که می‌تواند از طریق یک سلونوئید با قطر بزرگ ایجاد شود، مانند موارد استفاده پزشکی از تصویربرداری تشدید مغناطیسی یا همانMRI. جریان بسیار زیاد نشان می‌دهد که این قدرت برای میدان مغناطیسی به راحتی به دست نمی‌آید. چنین جریان بزرگی از طریق 1000 حلقه که به طول یک متر فشرده شده‌اند باعث گرمای زیاد سلونوئید می‌شود. با استفاده از سیم‌های ابررسانا می‌توان جریان‌های بزرگتری نیز به دست آورد هرچند هزینه آن گران می‌شود. در هر صورت برای مواد ابررسانا نیز یک حد بالا برای جریان وجود دارد زیرا حالت ابررسانا توسط میدان‌های مغناطیسی بسیار بزرگ مختل می‌شود.
مثال ۳: سه سیم در گوشه‌های یک مربع قرار دارند که جریان همه آن‌ها 2 آمپر است، این موضوع در شکل زیر نیز نمایش داده شده است. اگر طول هر ضلع مربع 1 سانتی‌متر باشد مقدار میدان مغناطیسی گوشه دیگر مربع یعنی نقطه P را محاسبه کنید.
پاسخ: میدان مغناطیسی ناشی از هر سیم در نقطه مورد نظر قابل محاسبه است. فاصله مورب با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه می‌شود. سپس جهت سهم هر سیم در نقطه مورد نظر رسم می‌شود. توجه کنید که بردارهای رسم شده در نقطه P مماس بر منحنی میدان هستند. در نهایت با استفاده از جبر برداری میدان در نقطه P محاسبه می‌شود.
سیم‌های 1 و 3 هر دو دارای میدان مغناطیسی برابر در نقطه P هستند و داریم:
B1=B3=μ0I2πR=(4π×10−7T⋅m/A)(2A)2π(0.01m)=4×10−5TB1=B3=μ0I2πR=(4π×10−7T⋅m/A)(2A)2π(0.01m)=4×10−5T
سیم 2 فاصله طولانی‌تر تا نقطه P دارد و سهم میدان مغناطیسی آن برابر است با:
B2=μ0I2πR=(4π×10−7T⋅m/A)(2A)2π(0.01414m)=3×10−5TB2=μ0I2πR=(4π×10−7T⋅m/A)(2A)2π(0.01414m)=3×10−5T
بردارهای مربوط به هر یک از میدان‌های مغناطیسی در نقطه P در شکل زیر نشان داده شده‌اند.
میدان مغناطیسی در نقطه P و در راستای x حاصل از سیم 3 و مولفه x سیم 2 است. بدین ترتیب میدان مغناطیسی در راستای x برابر است با:
Bnetx=−4×10−5T–2.83×10−5Tcos(45o)=−6×10−5TBnetx=−4×10−5T–2.83×10−5Tcos(45o)=−6×10−5T
همچنین مولفه y میدان مغناطیسی در نقطه Pبه صورت زیر محاسبه می‌شود:
Bnety=−4×10−5T–2.83×10−5Tsin(45o)=−6×10−5TBnety=−4×10−5T–2.83×10−5Tsin(45o)=−6×10−5T
بنابراین میدان مغناطیسی خالص حاصل از این دو جزء برابر است با:
Bnet=√B2netx+Bnety=√(−6×10−5T)2+(−6×10−5T)2=8.48×10−5T.Bnet=Bnetx2+Bnety=(−6×10−5T)2+(−6×10−5T)2=8.48×10−5T.
هندسه این مسئله منجر به ایجاد یک میدان مغناطیسی در جهت −x−x و yy می‌شود. اگر جریان‌ها مقادیر متفاوتی داشته باشند یا سیم‌ها در موقعیت‌های مختلفی قرار داشته باشند مقادیر میدان در راستای xx و yy متفاوت خواهد بود. صرف نظر از نتایج عددی کار بر روی مولفه‌های بردار سبب ایجاد میدان مغناطیسی در نقطه مورد نیاز می‌شود.